0.最初に
トップページから記事を見ると、LaTex記法(でいいんだっけ？)で記された数式が文字化けして見える。タイトルを押下して記事ページを表示してくれれば正しく表示されるはずだ。下に「$」から始まらない数式が表示されていたら記法の読み込みに成功している。
$\begin{eqnarray} f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) - f(x) }{ \Delta x } \end{eqnarray}$
1.フィボナッチ数列の一般式の導出
今日はとあるものを証明してみようと思う。
まずはフィボナッチ数列の一般式を導出する。前とその前を足すことで出来る、一見一般式にできないような感じの数列だが、漸化式の考えを用いることで一般式を導出できる。
$ a_{ n } = \frac{1}{\sqrt{5}} \{ ( \frac{ 1 + \sqrt{5} }{2} )^n - ( \frac{ 1 - \sqrt{5} }{2} )^n \}$という、一見整数にならなそうな一般項から1,1,2,3,5,8,…という整ったフィボナッチ数列が表せるのだ。すごい。(これを言いたかったがためにこの必要ないプロセスを踏んでいる。)
ちなみに$\varphi = \frac{ 1 + \sqrt{5} }{2} \fallingdotseq 1.618033988749894 \ldots$は黄金数と呼ばれていて…、やっぱりその話は脱線がはなはだしいこと、慣れないMathJax使用で筆者が疲れてしまうのでやめにしよう。
②、③の変形があまりに唐突過ぎるのでそこが引っかかる人もいるだろうが、これは天才的なひらめきによる変形ではなく、一応この式の作り方というのはある。(いわゆる「特性方程式」である。こちらが使えることの証明は省略して、証明では"天才的なひらめきによる"変形を装わさせてもらう)
あと、普通にフィボナッチ数列を$\{ F_n \}$と表すことは知りませんでした。許して。
$\frac{1}{89}$についての証明
種明かしは置いといて…
フィボナッチ数列の一般式を導出したところで、$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^{n+1}}$という無限級数の収束を調べる。
これで$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^{n+1}}$が$\frac{1}{89}$に収束することが分かった。
これは何を示しているの？(種明かし)
これで以下のことが示された。
>$\begin{split} \frac{1}{89}& =0.0\color{red}{1}\\\ & +0.00\color{red}{1}\\\ & +0.000\color{red}{2}\\\ & +0.0000\color{red}{3}\\\ & +0.00000\color{red}{5}\\\ & +0.000000\color{red}{8}\\\ & +0.000000\color{red}{13}\\\ & +0.0000000\color{red}{21}\\\ & +0.00000000\color{red}{34}\\\ & +0.000000000\color{red}{55}\\\ & +0.0000000000\color{red}{89}\\\ & +0.0000000000\color{red}{144} \ldots\\\ \end{split} $
赤色の部分にフィボナッチ数列が現れ続ける。これは証明した通り偶然ではない。永遠に現れ続ける。1000番目にも、10000番目にも。素晴らしいとは思わんかね？！(誰？)
これを高校数学程度で証明できるのもすごいなぁという月並みな感想しか言えない自分の語彙力が悔しいが、本当にすごいと思う。
フィボナッチ数列の出だし、1,1,2,3をとって11月23日を「フィボナッチ数列の日」とするのは有名なようだが、「完全に」フィボナッチ数列を網羅している8月9日($\frac{1}{89}$)こそ「フィボナッチ数列の日」にふさわしいのではないかと思う。(他にもフィボナッチ数列に関連した数字はありそうではあるが)
というわけで、タイトル通り、8月9日に、89にちなんだものについて触れてみました。MathJax形式での数式入力、本当に疲れた…。
ちなみに$\frac{1}{89}=0.01123595505\ldots$になる。
